「退学・転職・離婚等の場合には、出入国在留管理局に届け出てくださいね」という規定が入管法にあります。
第19条の16(所属機関等に関する届出)
中長期在留者であつて、次の各号(省略)に掲げる在留資格をもつて本邦に在留する者は、当該各号に掲げる在留資格の区分に応じ、当該各号に定める事由が生じたときは、当該事由が生じた日から十四日以内に、法務省令で定める手続により、出入国在留管理庁長官に対し、その旨及び法務省令で定める事項を届け出なければならない。
つまり、あなたの在留資格に合わせて、届出をするタイミングが変わってくる、と言うことです。大きく分けて、3つのパターンがあります。
パターン①
教授、高度専門職1号ハ、経営・管理、法律・会計業務、医療、教育、企業内転勤、技能実習、留学、研修

→所属機関の名称や所在地の変更、消滅、離脱、移籍の場合に届出が必要
パターン②
高度専門職1号イ及びロ・2号、研究、技術・人文知識・国際業務、介護、興行、技能、特定技能

→契約機関の名称や所在地の変更、消滅、契約の終了、新たな契約の締結の場合に届出が必要
パターン③
家族滞在、日本人の配偶者等、永住者の配偶者等、特別永住者

→配偶者との離婚又は死別の場合に届出が必要
これらに該当する場合には、該当した日から14日以内に届け出なければなりません。
守らないと罰則がある…!
この届出については、罰則規定が設けられています。

この届出を14日以内に行わない場合:20万円以下の罰金
この届出に関して、虚偽の届出をした場合:1年以下の懲役または20万円以下の罰金
が課せられます。
在留審査への影響もある…
この届出については、在留審査にも影響をする可能性があります。
例えば、この届出に違反した場合には、5年の在留期間が3年になったり、3年の在留期間が1年になったりします。また、次の更新では3年の在留期間になる外国人の方が、この届出に違反したことにより3年ではなく1年の在留期間になったりします。
日本はルールに厳しい国なので、テキトーに放っておかずにきちんと対処をするよう心がけましょう!